Родился в 1988 году в городе Ашхабад. В 1995 году поступил в Республиканскую среднюю специальную музыкальную школу по классу скрипки. В 2009 году Расул Клычев поступил в Туркменскую национальную консерваторию по специальности «Оперно-симфоническое дирижирование» (класс старшего преподавателя Нуры Мухиева). Окончил консерваторию в 2014 году.

Параллельно с учебным процессом в консерватории, Расул Клычев руководил Молодёжным камерным оркестром Туркменской национальной консерватории. Начиная со второго курса обучения, музыкант начал выступать с Молодёжным камерным оркестром по областным центрам Туркменистана, активно участвовать в концертной жизни страны, принимать участие в открытиях международных и государственных форумов.

В 2011 году был удостоен Государственной молодёжной премии имени Махтумкули. В 2013 году дирижировал оперой народного артиста Туркменистана Х.Амангельдыева «Гёр-оглы», которая проходила в городе Туркменбаши с большим успехом и широким общественным резонансом в рамках недели культуры Туркменистана. В 2014 году за постановку оперы «Гёр-оглы» Расул Клычев был удостоен Президентской премии «Алтын Асыр».

В 2013, 2014 и 2017 годах участвовал в международном дирижерском мастер-классе профессора Юрия Симонова в Москве, где дирижировал Академическим симфоническим оркестром Московской филармонии. В 2013, 2014, 2015, 2016 и 2019 годах, представляя Туркменистан на молодёжном фестивале молодых талантов в г.Байройт (Германия), дирижировал Молодёжным камерным оркестром Туркменистана. Европейская публика высоко оценила выступления туркменского коллектива, отметив его высокий профессионализм и назвав «настоящим открытием молодежного музыкального фестиваля». 

 В 2015 году Расул Клычев был назначен художественным руководителем и главным дирижером Государственного симфонического оркестра Туркменистана. Под руководством Расула Клычева, Государственный симфонический оркестр Туркменистана выступал с такими солистами, как Веселина Касарова, Нил Шикофф, Ирина Йордаческу, Лючия Алиберти и другие.

Расул Клычев является дирижером туркмено-австрийского симфонического оркестра, который в 2014 и 2016 годах принимал участие в Венском бале, проходившем в Ашхабаде. В 2019 году дирижировал молодёжным симфоническим оркестром участников стран СНГ. В ноябре 2019 года при поддержке посольства Италии принимал участие в постановке оперы «Паяцы» Леонкавалло. Был приглашенным дирижёром симфонического оркестра СНГ в городе Караколь (Кыргызстан, 2021) и в городе Ташкент (Узбекистан, 2022).

октябрь 2023