Моше Ацмон родился в Венгрии. Заниматься музыкой начал в Будапеште. В тринадцатилетнем возрасте, вместе с семьей, эмигрировал в Израиль, где продолжил образование в Академиях музыки Тель-Авива и Иерусалима, занимаясь в классах виолончели, валторны, дирижирования и композиции. По окончании обучения несколько лет работал валторнистом в симфонических оркестрах. В 1960 году возобновил занятия дирижированием в Лондоне (Guildhall School of Music) под руководством А.Дорати. Лауреат международных конкурсов имени Митропулоса (II премия, Нью-Йорк, 1963) и Международного конкурса в Ливерпуле (I премия, 1964), удостоен Приза Леонарда Бернстайна в Тэнглвуде (1963). С тех пор выступает во всех крупнейших музыкальных центрах мира с ведущими коллективами, включая оркестры Берлинской, Венской и Мюнхенской филармоний, главные симфонические оркестры Лондона. Был главным дирижером Сиднейского симфонического, Оркестра Гамбургского радио, оркестра «Метрополитен» в Токио, филармонического оркестра в Нагойе (в настоящее время – почетный дирижер), Базельского оркестра и главным приглашенным дирижером филармонического оркестра в Сеуле. Моше Ацмон известен и как оперный дирижер. В течение нескольких лет возглавлял Дортмундскую Оперу, дирижировал спектаклями в оперных театрах Берлина, Гамбурга, Базеля, в Королевской Датской Опере и других. Многочисленные записи осуществлены фирмами Deutsche Grammophon, Decca, EMI. В сентябре 1999 возглавил Симфонический оркестр в Ольборге, одном из крупнейших городов Дании, в марте 2001 – оркестр Стамбульской Оперы. В январе 2004 Моше Ацмон стал главным приглашенным дирижером Оркестра Бретани.