Дмитрий Шишкин впервые выступил на сцене в три года, в шесть лет сыграл с оркестром, а в восемь стал в Челябинске «Человеком года» в номинации «Юное дарование». С четырех лет обучался в челябинской Средней специальной музыкальной школе имени П.И.Чайковского. Во время обучения победил в юношеских конкурсах «Щелкунчик», имени Ф.Шопена в Пекине и имени М.Юдиной в Санкт-Петербурге.

В 2010 году окончил московскую Среднюю специальную музыкальную школу имени Гнесиных (класс М.Хохлова), а в 2015-м ‑ Московскую государственную консерваторию имени П.И.Чайковского (класс Э.Вирсаладзе). Совершенствовался у Э.Комиса в Консерватории имени В.Беллини в Катании.

Лауреат III премии Конкурса имени Ф.Бузони (2013), II премии Конкурса под патронатом Бразильского банка экономического и социального развития в Рио-де-Жанейро (2014), IV премии Конкурса имени Ф.Шопена в Варшаве (2015), победитель конкурсов Top of the World в Тромсё (Норвегия, 2017) и фортепианного конкурса в Женеве (2018). В 2019 году Дмитрию Шишкину была присуждена II премия Международного конкурса имени П.И.Чайковского.

Пианист гастролировал в странах Европы и Азии, в США и ЮАР. Играл в Большом зале Московской консерватории, в Концертном зале имени П. И. Чайковского и в зале «Зарядье», в залах Мариинского театра, Виктория-холла в Женеве, в венском Концертхаусе, брюссельском Центре изящных искусств Bozar, Варшавской филармонии, Токийском столичном театре. В числе многочисленных коллективов, с которыми выступал музыкант, – Симфонический оркестр Мариинского театра, Российский национальный оркестр, оркестр Веймарской капеллы, Оркестр Романской Швейцарии, Варшавский филармонический, Бразильский симфонический, Национальный оркестр Бельгии; среди дирижеров – В.Гергиев, М.Плетнёв, А.Рудин, В.Спиваков, Ю.Симонов, В.Федосеев, В.Чернушенко, П.Коган, М.Олсоп, А.Сладковский, Р.Тибириса, А.Тигранян. Принимал участие в фестивалях в Хорватии, Польше, Норвегии, Италии.

2022