Окончил Московскую государственную консерваторию имени П.И. Чайковского (2015, класс А.А. Лошака). Стажировался в Центре оперного пения Галины Вишневской (2008–2010), где исполнил партии Онегина («Евгений Онегин» П.И. Чайковского) и Роберта («Иоланта» П.И. Чайковского). Принимал участие в гастролях Центра в России, Германии, Польше. В 2009–2010 был стипендиатом Фонда Мстислава Ростроповича.

Лауреат международных конкурсов, среди которых конкурс-фестиваль “Armel” (III премия, Венгрия, Сегед, 2010), Европейский конкурс оперных певцов «Дебют» (II премия, Германия, Вайкерсхайм, 2012), конкурса Neue Stimmen (финалист и обладатель специального приза, Германия, Гютерсло, 2013), 57-го Международный конкурс «Вердиевские голоса» (I премия, Италия, Буссето, 2019). В июне 2013 года Алексей Богданчиков представлял Россию на международном конкурсе оперных певцов «Певец мира» BBC в Кардиффе (BBC Cardiff Singer of the World).

Выступал на сценах ведущих европейских театров: Национального театра города Сегед (Венгрия), Оперного театра города Пльзень (Чехия), Болонская опера и Театр Россини (Италия), Ганноверская государственная опера (Германия). Выступал с сольными концертами в сопровождении симфонического оркестра Хайльбронна. Участвовал в международной оперной программе Немецкой Оперы в Берлине (Deutsche Oper Berlin), в рамках которой исполнил следующие партии: Максимилиан, Капитан («Кандид» Л. Бернстайна), Пинг («Турандот» Дж. Пуччини), Пер Гюнт («Пер Гюнт» Э. Грига), Моралес («Кармен» Ж. Бизе), Сильвано («Бал-маскарад» Дж. Верди), Фламандский депутат («Дон Карлос» Дж. Верди). В 2014 году исполнил партию Паоло Альбиани («Симон Бокканегра» Дж. Верди) в Городском театре Пьяченцы и в Театре Комунале имени Лучано Паваротти в Модене, партию Белькоре («Любовный напиток» Г. Доницетти) в Театре Муз (Анкона), партию Моралеса («Кармен» Ж. Бизе) в Римском оперном театре (все — Италия).

С 2015 года — солист Гамбургской государственной оперы (Германия), где исполнил следующие партии: Родриго (французская версия оперы «Дон Карлос» Дж. Верди), Онегин («Евгений Онегин»), Елецкий («Пиковая дама»), граф Альмавива («Свадьба Фигаро» В.А. Моцарта), Белькоре («Любовный напиток»), Энрико («Лючия ди Ламмермур» Г. Доницетти), Фигаро («Севильский цирюльник»), Валентин («Фауст» Ш. Гуно),Шарплес («Мадам Баттерфляй» Дж. Пуччини), Франк, Фриц («Мертвый город» Э.В. Корнгольда).

С 2014 года — солист театра Новая Опера.

Артист принимал участие и в российских постановках. Он исполнил партию Елецкого («Пиковая дама» П.И. Чайковского) в Бурятском государственном академическом театре оперы и балета (Улан-Удэ, 2012), партию Онегина в Магнитогорском театре оперы и балета (2014), Астраханском государственном театре оперы и балета (2014–2015), Нижегородском государственном академическом театре оперы и балета им. А.С. Пушкина (в рамках фестиваля «Болдинская осень», 2018). Кроме того, в 2019 году исполнил партию Фигаро («Севильский цирюльник» Дж. Россини) в Азербайджанском государственном академическом театре оперы и балета им. М.Ф. Ахундова.

Алексей Богданчиков сотрудничал с такими выдающимися дирижерами, как Кент Нагано, Даниэль Орен, Ренато Палумбо, Хесус Лопес Кобос, Пьер Джорджо Моранди, Стефано Ранзани, Дональд Ранниклс, Эммануэль Вийом, Ядер Биньямини и Иоганнес Фрич.

В 2017 году исполнил партию Жоржа Жермона («Травиата» Дж. Верди) на Международном фестивале Пуччини в Торре-дель-Лаго (Италия), дирижер Ян Латам-Кёниг.

В 2019 на гастролях Новой Оперы в Таллинне (Эстония) принял участие в Фестивале Биргитта, где исполнил партию Валентина («Фауст», дирижер Ян Латам-Кёниг, режиссер Екатерина Одегова).