Анна Кикнадзе родилась в Тбилиси. В 1999 году окончила Тбилисскую консерваторию им. Вано Сараджишвили. В 1997 году, еще студенткой IV курса, была приглашена в оперную труппу Тбилисского театра оперы и балета им. Захария Палиашвили, на сцене которого исполнила ряд партий, среди которых Любаша («Царская невеста») и Кармен («Кармен»). В 2001 году представляла Грузию на Международном конкурсе Би-би-си «Певец мира» и стала его финалисткой. В конкурсе участвуют 25 человек, отобранных после прослушиваний по всему миру. Каждая страна может представить только одного участника, а в финал выходят лишь 5 певцов. 

С 2000 года – солистка Академии молодых певцов Мариинского театра. С 2009 года входит в состав оперной труппы Мариинского театра.

Гастролировала с труппой Мариинского театра в США, Англии, Австрии, Финляндии, Германии, Японии, Корее, Дании, Франции и Бразилии, а также выступала как приглашенная солистка в разных театрах Швеции, Австрии, Германии и Голландии.