Сергей Семишкур родился в Кирове. В 2003 году окончил Нижегородскую государственную консерваторию им. М.И.Глинки (факультет хорового дирижирования и академического вокала). В том же году он принят в Академию молодых певцов Мариинского театра. С 2007 является солистом оперной труппы Мариинского театра.

Лауреат Международного Конкурса молодых оперных певцов им. Н.А.Римского-Корсакова (Санкт-Петербург, 2006), Международного конкурса вокалистов им. П.Лисициана (Владикавказ, 2003), дипломант и обладатель специального приза Международного конкурса молодых оперных певцов Елены Образцовой (Москва, 2005)

Сергей принимал участие в различных оперных фестивалях по всему миру, в том числе в Савонлинне и Миккели (Финляндия), Зальцбургском фестивале (Австрия), Эдинбургском фестивале (Шотландия) и «Фестивале Красного моря» в Эйлате (Израиль).

Певец часто выступает в турне на самых престижных концертных площадках мира, среди которых Карнеги-холл в Нью-Йорке, Кеннеди-центр в Вашингтоне, Уэльский Миллениум-центр в Кардиффе, Центр исполнительских искусств Барбикан в Лондоне, Королевская опера в Стокгольме, Опера Бастилия в Париже, Театр Реал в Мадриде и Немецкая опера в Берлине.

В 2006 году Сергей Семишкур принял участие в постановке оперы «Богема» Пуччини в Варшавском оперном театре, исполнив роль Рудольфа. В 2007 году певец начал сотрудничать с Зальцбургским фестивалем, где принял участие в постановке оперы «Бенвенуто Челлини» Берлиоза, исполнив заглавную партию. В сезоне 2009-2010 Сергей Семишкур участвовал в постановках «Реквиема» Верди с Брином Терфелем и оркестром Мариинского театра в Кардиффе, а также с Рене Папе и Мюнхенским филармоническим оркестром в Мюнхене. В 2010 году Сергей Семишкур участвовал в записи оперы «Нос» Шостаковича с Мариинским театром, получившей номинацию на премию «Грэмми». В 2013 году он исполнил партию Владимира Игоревича («Князь Игорь», Бородин) в Метрополитен-опера. В 2015 году он исполнил партии Молодого цыгана («Алеко», Рахманинов) и Паоло («Франческа да Римини» Рахманинов) в театре «Ла Монне» в Брюсселе. В 2019 году Сергей принял участие в постановке оперы Шостаковича «Леди Макбет Мценского уезда» в Афинах, исполнив роль Сергея.

Дискография Сергея включает записи опер «Царь Эдип» (Стравинский), «Нос» (Шостакович) и «Золото Рейна» (Вагнер), а также Реквиема Берлиоза и Симфонии № 8 Малера, записанной совместно с Лондонским симфоническим оркестром.