В 1998 году окончил Российскую академию музыки имени Гнесиных по специальности «хоровое дирижирование», в 2000-м – ассистентуру-стажировку (руководитель – заслуженный артист России, профессор Владимир Семенюк), в 2006-м – ассистентуру-стажировку по специальности «оперно-симфоническое дирижирование» (руководитель – народный артист СССР, профессор Владимир Федосеев). В 1998–2006 годах регулярно занимался с дирижёром, народным артистом СССР, профессором Арнольдом Кацем.

В 1995–2010 годах – второй дирижёр Московского государственного академического камерного хора под управлением Владимира Минина. С 2001 по 2020 год преподавал на кафедре хорового дирижирования Российской академии музыки имени Гнесиных (с 2008 года – доцент), с 2011 по 2020 год – на кафедре оперно-симфонического дирижирования, в 2011–2014 годах руководил оркестром академии.

В 2010 победил на конкурсе Д.Митропулоса в г. Афины (Греция).
Более десяти лет сотрудничал с Центром оперного пения Галины Вишневской, где дирижировал всем репертуаром и гала-концертами. 
С 2011 по 2020 год был дирижером Большого театра и Молодежной программы ГАБТ.

В декабре 2020 года Александр Соловьев занял пост главного дирижера Михайловского театра, с 1 июля 2022 года – музыкального руководителя и главного дирижера.
В настоящее время – председатель экспертного совета и член жюри Национальной оперной премии «Онегин».
С 2021 года преподает в Санкт-Петербургской государственной консерватории им. Н.А.Римского-Корсакова (с 2023 года – профессор).

Среди музыкантов, с которыми сотрудничал артист, дирижеры В.Федосеев, С.Сондецкис, В.Спиваков, М.Плетнев, В.Синайский, М.Виотти, Ф.Луизи, Э.Пидо, Э.Мацолла, певцы Е.Нестеренко, З.Соткилава, И.Архипова, М.Касрашвили, М.Гулегина, Х.Герзмава, П.Бурчуладзе, И.Абдразаков, Т.Аллен, Л.Нуччи, пианисты Н.Луганский, Д.Мацуев, А.Гиндин, виолончелист А.Рамм, скрипач А.Притчин; в числе коллективов – Национальный филармонический оркестр России, Государственный академический симфонический оркестр имени Е.Ф.Светланова, Российский национальный оркестр, Большой симфонический оркестр имени П.И.Чайковского, оркестр «Новая Россия», Московский государственный академический симфонический оркестр, камерный оркестр «Виртуозы Москвы», Оркестр Пражского радио, Филармонический оркестр имени А.Тосканини (Парма), Orchestra of Colours (Афины), Симфонический оркестр Дома музыки в Порту. 

октябрь 2023